1. Рангом матрицы А называется такое целое число R, что среди миноров порядка R этой матрицы найдётся хотябы один не равный нулю, а все миноры порядка R+1, если такие существуют - равны нулю.
Лемма: Если в матрице А все миноры каждого порядка равны нулю, то все миноры большего порядка тоже равны нулю.
2. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
прибавление к одной строчке(столбцу) другой строчки(столбца)
переставление строк(столбцов).
Лемма: При транспорировании матрицы ранг не меняется.
Теорема 1: Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.
Теорема 2: Элементарным преобразованиям строк матрицы А соответствуют равносильные преобразования системы уравнений матрицы.
Теорема 3: При помощи элементарного преобразования строк - любую мматрицу m на n можно привести к следующему виду: Некоторые R столбцов совпадают с первыми R столбцами единичной матрицы порядка m. Если R<m то последние (m-R) строк состоят из нулей.

Пример:
Решить системы уравнений.

1. Найдем матрицу обратную матрице A.

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 <> 0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д.
Получим:

, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1. dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Допускаются следующие элементарные преобразования:
1)Перестановка строк расширенной матрицы.
2)Умножение i-й строки расширенной матрицы на число альфа, не равное нулю.
3)Прибавление к i-й строке расширенной матрицы j-ю строку умноженную на заданное число альфа.

рассмотрим некоторые ситуации:
( 0 0 0 ... 0 I bi ) - нет решений
две одинаковые строчки. - одну из них можно вычеркнуть.
если в строчке стоят одни нули, то мы её вычёркиваем.

Пример: Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Теорема: В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Пример: Определить ранг и найти базисные миноры матрицы

Решение. Сложим соответствующие элементы первой и третьей строк, а затем разделим на 4 элементы первой строки. Из элементов первой строки вычтем соответствующие элементы второй строки, после чего вычеркнем первую строку:

r(A)=2. А базисными минорами являются три минора второго порядка этой матрицы, отличные от нуля:

Теорема: наивысший порядок отличных от 0 миноров матрицы равен рангу этой матрицы.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы.

Правила вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньшего порядка к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-порядка отличный от 0, то требуется вычисление лишь минора k+1 ? порядка и т.д. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы. Но в А существуют миноры второго порядка, отличные от нуля. Возьмем минор третьего порядка. И т.д.

Система линейных уравнений совместима тогда и только тогда, когда.

Док-во

1) Пусть система совместима и k1?kn являются ее решением. Подставим k1?kn вместо неизвестных в систему. Получим тождества, которые показывают, что последний столбец расширенной матрицы является суммой всех остальных взятых соответственно коэффициентов. Всякий другой столбец матрицы A входит и в матрицу A и поэтому линейно выражен через столбцы этой матрицы. Обратно: всякий столбец матрицы A является и столбцом в матрице A, т.е. линейно выражен через столбцы этой матрицы системы столбцов A и A подобны между собой, это означает, что обе системы s-мерных векторов имеют один и тот же ранг.

2) Пусть rang A=rang A  любая максимально линейно независимая матрицы A, остается max линейно независимая в A. Таким образом через эту систему и систему столбцов матрицы A линейно выражены посредством столбцов A   система коэффициентов k1?kn такая, что сумма столбцов A взятая с этими коэффициентами равна столбцу из свободных членов. Поэтому k1?kn составляет решение системы.

я тогда посмотрю и залью готовый вариант. мне можешь слить в личку на форуме форстуда или просто на форстуд в раздел файлов (webmaster) только поскорее